MySQL es una de las bases de datos más usadas.

http://blog.jelastic.com/2014/04/03/software-stacks-market-share-march-2014/

Pero no tiene nada que ver con Java; está escrita en el lenguaje C.
Usarla o no en proyectos Java no depende de los lenguajes sino de otras consideraciones.

Por ejemplo, si se quiere incrustar una base de datos en una aplicación de escritorio, MySQL no sirve en la actualidad, porque la distribución que lo permitía, en el pasado, ni funciona con JavaSE 1.7, ni se sigue desarrollando: es una vía muerta.

Lo importante, desde el punto de vista de Java, es que la base de datos tenga un conector JDBC.