Perfilando una aplicación Grails con problemas de memoria

Seguro que os suena este problema: terminamos el desarrollo de nuestra aplicación, la desplegamos en producción, funciona perfectamente, y de repente, sin justificación aparente, comienza a dar errores de memoria o simplemente no responde. ¿Cuál es el primer paso a realizar?

Más información sobre Profiling a Grails Application with a Runaway Memory Leak (traducido al español).